Đường cong Bezier

16. Đường cong Bezier :

       Việc sử dụng điểm với các vector kiểm soát được độ dốc của đường cong tại những điểm mà nó đi qua. Tuy nhiên không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, không tiếp cận với các độ dốc của đường cong bằng các giá trị số (Hermite). Paul Bezier, nhân viên hãng RENAULT vào năm 1970 đi đầu trong việc ứng dụng máy tính cho việc xây dựng các bề mặt. Hệ thống UNISURF của ông đựơc áp dụng trong thực tế vào năm 1972 được thiết kế và kiểm xe Mezesez hay Renaut. Bezier đã sử dụng đa giác kiểm soát cho đường cong tại những đỉnh của đa giác và tiếp tuyến tại đó (p0,p1,p2,p3). Ta có p0, p3 tương đương với p0, p1 trên đường Hermite, điểm trung gian p1, p2 được xác định bằng 1/3 theo độ dài của vector tiếp tuyến tại điểm po và p3.

         Đường cong và mặt cong trong 3D 123 p1’ = 3(p3 – p2) p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2 +u3 ) + p1’(-u2 + u3 ) p = p(u) = p0(1 - 3u + 3u2 - u3 ) + p1(3u-6u2 -3u3 ) + p2(3u2 - 3u3 ) + p3u3 Hình 7.4 Hàm hợp của đường cong Bezier Ưu điểm: Dễ dàng kiểm soát hình dạng của đường cong hơn vector tiếp tuyến tại p0’ và p1’ của Hermite. Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung gian tuỳ ý (số bậc tuỳ ý), có số bậc =số điểm kiểm soát -1. Đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm soát, tiếp xúc với cặp hai vector của đầu cuối đó. Biểu thức Bezier-Bernstain Đường Bezier cũng có thể được biết đến như biểu thức Bezier Bernstain bởi kỹ thuật mà Bezier sử dụng là áp dụng công thức hoá các vector trong phép tính đa giác xấp xỉ được Bernstain phát triển gần đây. Phép toán đại số được xác định như sau: 0≤u≤1 0!=1, ui =1 khi i = 0 ∑= = n i i n Pi P u B u 0 , ( ) ( ) i n i i n B u C n i u u − ( ) = ( , ) (1− ) , !( )! ! ( , ) i n i n C n i − = Trong đó P0.....Pn: vector vị trí của đa giác (n+1) đỉnh.